Matemáticas II Ciencias
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Matrices
Definición
Introducción
Definición de Matriz. Una matriz es un conjunto de números ordenados en filas y columnas. Decimos que una matriz es de orden (o de dimensión ) cuando esta posee filas y columnas.
Ejemplo: La matriz es de orden 3×3 (tiene 3 filas y 3 columnas) Una matriz de orden se expresa de forma genérica: a ij donde el elemento denota que está en la fila i y en la columna j
Elementos de la Matriz
presenta elementos ordenados en filas y columnas. Cada elemento esta identificado por dos números ij, donde i representa la fila y j la columna. por lo tanto el elemento a11 significa fila 1 columna 1, veamos otro ejemplo a32 representa al elemento en fila 3 y columna 2
Operaciones
- Suma y Restas
- Multiplicación por un escalar ó número
- Multiplicación
- Propiedades de la Multiplicación
Suma de Matrices
Suma de matrices Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la suma es otra matriz del mismo orden. Los elementos se obtienen como resultado de sumar de los elementos colocados en el mismo lugar de las matrices sumandos
Resta de Matrices
Resta de matrices Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la resta es otra matriz del mismo orden. Los elementos se obtienen como resultado de restar los elementos colocados en el mismo lugar de las matrices restadas
Multiplicar una Matriz por un Escalar ó Número
Para multiplicar una matriz cualquiera por un número real, se multiplican todos los elementos de la matriz por dicho número
Producto de Matrices
Para poder multiplicar dos matrices cualesquieras, es condición necesaria que las dimensiones de ambas cumpla la condición: la primera matriz debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda.
La matriz producto tendrá el mismo número de filas de la primera y el mismo número de columnas de la segunda. Si no cumple esta regla, no podremos realizar la operación de multiplicación. Se puede observar que el producto de matrices no cumple por lo general la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación 3×5 por 2×3, puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda Si tenemos una matriz 4×3 y la multiplicamos por otra de orden 3×3, la matriz resultante será de orden 4×3
El resultado es una matriz en la que el elemento que ocupa el lugar cij se obtiene sumando los productos parciales que se obtienen al multiplicar todos los elementos de la fila “i” de la primera matriz por los elementos de la columna “j” de la segunda matriz.
Es decir, multiplicamos la primera fila por los elementos de la primera columna y el resultado será nuestro nuevo elemento. Para ello, el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el de filas de la segunda. Si no fuese así no podríamos realizar la operación.
Propiedades del producto de matrices
1. Propiedad Asociativa: A·(B·C)=(A· B)· C
2. Propiedad del Elemento neutro: A·I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
3. Propiedad Distributiva del producto respecto de la suma: A·(B+C)=A·B + A·C
4 No cumple la Propiedad Conmutativa: A· B ≠ B· A
Tipología de Matrices
Una matriz A se llama:
si tiene una sola fila. Por ejemplo: (1 2 3 4)
si tiene una sola columna.
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión
M x N.
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1. 
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. I
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. A t
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si A·A·t = A·t·A. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.
Una matriz es escalonada si al principio de cada fila (o columna) un elemento nulo mas que en la fila (o columna) anterior.
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Una matriz, A, es idempotente si:
INVOLUTIVA
Una matriz, A, es involutiva si:
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
Una matriz es ortogonal si verifica que:
En una matriz nula todos los elementos son ceros. 
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. 
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
